小蜜蜂

数学逻辑题,怎么解?



推荐

要做这三个题,建议先弄清下面这个简单的题,推荐陈辰阳的答案:

这三个问题缺少一个关键的假设,即主持人是随机打开一个门还是主持人有选择地打开那个空门,不同的假设对应不同的条件样本空间,进而对应不同的概率。

我先给出第一题的答案,后面的其实很简单。

首先假设主持人是随机选择一个门打开,这里把样本空间表示为{{{你选择外的部分},{你的选择}} : 该事件对应的概率}。

你选择以后的样本空间:

{{{车,空1},{空2}} : 1/3,

{{车,空2},{空1}} : 1/3,

{{空1,空2}, {车}} : 1/3}}

如果主持人是随机选一个门,打开一看是空门之后,样本空间变为:

{{{车},{空2}} : 1/3*1/2 = 1/6,

{{车},{空1}} : 1/3*1/2 = 1/6,

{{空1 or 空2},{车}} : 1/3*1 = 1/3}

此时P{换且中奖} = (1/6+1/6) / (1/6+1/6+1/3) = 1/2,

P{不换且中奖} = (1/3)/(1/6+1/6+1/3) = 1/2。

也就是换不换中奖的概率都一样。

接下来假设主持人直接打开一个没有车的门,你选择以后的样本空间:

{{{车,空1},{空2}} : 1/3,

{{车,空2},{空1}} : 1/3,

{{空1,空2}, {车}} : 1/3}}

主持人打开一个没有车的门以后的样本空间为:

{{{车},{空2}} : 1/3*1=1/3,

{{车},{空1}} : 1/3*1=1/3,

{{空1 or 空2},{车}} : 1/3*1=1/3}

此时P{换且中奖} = (1/3+1/3) / (1/3+1/3+1/3) = 2/3,

P{不换且中奖} = (1/3)/(1/3+1/3+1/3) = 1/3。

也就是应该选择换。

----------------------------

从上面的范式出发,第二问和第三问都很简单,再给一个第二问的。

首先假设主持人是随机选择一个门打开,你选择以后的样本空间:

{{{车,空1},{空2}} : 1/3,

{{车,空2},{空1}} : 1/3,

{{空1,空2}, {车}} : 1/3}}

如果主持人是随机选一个门,打开一看是空门之后,样本空间变为:

{{{车},{空2}} : 1/3*1/3 = 1/9,

{{车},{空1}} : 1/3*1/3 = 1/9,

{{空1 or 空2},{车}} : 1/3*2/3 = 2/9}

此时P{换且中奖} = (1/9+1/9) / (1/9+1/9+2/9) = 1/2,

P{不换且中奖} = (2/9)/(1/9+1/9+1/9) = 1/2。

也就是换不换中奖的概率都一样。

接下来假设主持人直接打开一个没有车的门,你选择以后的样本空间:

{{{车,空1},{空2}} : 1/3,

{{车,空2},{空1}} : 1/3,

{{空1,空2}, {车}} : 1/3}}

主持人打开一个没有车的门以后的样本空间为:

{{{车},{空2}} : 1/3*1/2 = 1/6,

{{车},{空1}} : 1/3*1/2= 1/6,

{{空1 or 空2},{车}} : 1/3*1/2 = 1/6}

此时P{换且中奖} = (1/6+1/6) / (1/6+1/6+1/6) = 2/3,

P{不换且中奖} = (1/6)/(1/6+1/6+1/6) = 1/3。

也就是应该选择换。

----------------------------

再给一个第三问的,样本空间用如下方法表示{{A选择的} ,{没人选的},{B选择的}}},你选择以后的样本空间:

{{{车},{空1},{空2}} ,

{{车},{空2},{空1}},

{{空2},{车},{空1}} ,

{{空1},{车},{空2}} ,

{{空1},{空2}, {车}}}

{{空2},{空1}, {车}}}}

主持人打开没人选的以后样本空间为:

{{{车},{-},{空2}} ,

{{车},{-},{空1}},

{{空1},{-}, {车}}}

{{空2},{-}, {车}}}}

此时P{换且中奖}=P{不换且中奖} =1/2,换不换无所谓。

完了。

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